Lineala eta homogeneoa, lehen mailako ekuazio diferentziala. irtenbideak adibide

tresna matematiko gloriosa Ekuazio diferentziala gisa historian batekin hasi behar dugula uste dut. diferentziala guztiak eta kalkulu integralaren bezala, ekuazio horiek Newton asmatu 17an mendearen bukaeran. Bere aurkikuntza horren garrantzitsua baita enkriptatutako mezu, gaur daitezke itzulitako jarraitzen zen uste zuen: ". deskribatu ekuazio diferentzial arabera naturaren legeak guztiak" gehiegikeria bat dirudi, baina egia da. fisika, kimika, biologia edozein lege, ezin Ekuazio horien bidez azaldu daiteke.

garapen eta sorkuntza Ekuazio diferentziala teoriaren ekarpen izugarria izan Euler eta Lagrange matematika. Dagoeneko 18an mendean aurkitu zuten eta garatu zer da gaur egun, senior unibertsitate ikastaroak ikasten.

Ekuazio diferentziala ikerketan mugarri berri bat Anri Puankare esker hasi zen. espazioa eta bere propietate zientzia -, eta horrek, aldagai konplexuen funtzioen teoria konbinatzen nabarmen lagundu topologia fundazioa da "diferentziala ekuazioak teoria kualitatibo" bat sortu zuen.

Zer dira ekuazio diferentziala?

Jende askok Esaldia beldur dira "diferentziala ekuazioa". Hala ere, artikulu honetan ezarritako egingo dugu xehetasunez tresna matematiko oso erabilgarria honek hau da, benetan ez bezala korapilatsu dirudiena izenburua da esentzia. Ordena lehen ordena diferentziala ekuazio bati buruz hitz hasteko asmoz, lehenengo behar duzu get berez definizio honekin lotutako diren oinarrizko kontzeptuak ezagutu. Eta gu diferentziala batera hasiko.

diferentziala

Jende askok ezagutzen epe hau batxilergoko geroztik. Hala ere, oraindik ere Ohar xehetasunez. Imajinatu funtzioaren grafikoa. handitu ahal izango dugu, bere segmentuan edozein lerro zuzen bihurtzen neurri bat, hala nola da. bi puntu infinituki elkarren hurbil daude hartuko ditu. Beren koordenadak (x edo y) arteko aldea infinitesimala da. Eta diferentziala deritzo eta pertsonaiak izendatzeko dy (y diferentziala) eta dx (x-ren diferentziala). Garrantzitsua da diferentziala ez da azken balioa ulertzeko, eta honek esanahi eta funtzio nagusia da.

Eta orain, ondoko elementuak, eta hori ekuazio diferentziala kontzeptua azaldu beharko ditugu kontuan hartu behar duzu. It - eratorria.

eratorria

Guztiok eskola eta ideia hau aurrera entzun behar. hazkunde edo funtzioa jaitsiera-tasa da - eratorria dela esaten dute. Hala ere, definizio hau nahasia bihurtzen da. Demagun diferentziala baldintzak eratorria azaltzeko saiatu gurekin. Goazen infinitesimala tarte funtzioa itzuli bi puntu dira, elkarrengandik gutxieneko distantzia bat dago batekin. Baina, nahiz eta distantzia funtzio hori gainditzen denbora balio batzuk aldatu da. Eta aldaketa hori deskribatzeko eta etorri eratorria zela bestela diferentziala erlazioa honela idazten dira: f (x) '= df / dx.

Orain beharrezkoa da eratorriak oinarrizko ezaugarriak kontuan hartu behar. Bakarrik daude hiru:

1. Eratorririk batuketa edo aldea egon batuketa edo aldea deribatuak gisa irudikatzen daiteke: (a + b) '= a' + b ', eta (ab)' = a'-b '.
2. Bigarren Jabetza da biderketa lotuta. - lan eratorririk funtzioa inork obrak eratorria bestera batura da: (* b a) '= a' * b + * a b '.
3. aldea eratorria ondoko ekuazioa idatzi daiteke: (a / b) '= (a' * ba * b ') / b ^2.

Ezaugarri horiek guztiak erabilgarri etorriko lehen mailako ekuazio diferentzial irtenbideak bilatzeko.

Era berean, partziala eratorriak badira. Demagun z, zein aldagai x eta y araberakoa funtzio bat dugu. funtzio honen eratorriak partziala kalkulatzeko, adibidez, x-en, aldagai y hartzeko etengabeko eta erraz bereizteko behar dugu.

integral

Garrantzitsua beste kontzeptu - integral. Izan ere eratorri kontrakoa da. Integralak hainbat mota daude, baina ekuazio diferentziala soluzio errazena, gehien trivial behar dugu mugagabea integralak.

Beraz, zer da integral? Demagun harreman batzuk x f dugu. integral hartu bertatik dugu eta funtzioa F (x) (da askotan primitibo gisa aipatzen), jatorrizko funtzioa eratorria da lortzea. Beraz F (x) '= f (x). Ondorioz, eratorria integrala jatorrizko funtzioa berdina da.

Ekuazio diferentziala konpontzen gain, oso garrantzitsua da esanahia eta funtzioa integralaren ulertzeko, geroztik oso maiz dute eraman irtenbideak bilatzeko.

Ekuazio ezberdinak dira euren izaera arabera. Hurrengo atalean izango orden diferentziala ekuazioak lehenengo mota aztertuko dugu, eta, ondoren, ikasteko nola konpondu nahi.

Ekuazio diferentziala Klaseak

"Diffury" haiek inplikatuta eratorriak ordena arabera banatuta. Beraz, lehenengo, bigarren, hirugarren edo gehiago ordena bat da. arruntak eta partzialak: Ere egin daitezke, hainbat klase banatuta.

Artikulu honetan, lehen mailako ekuazioak diferentzial arruntak kontuan hartuko dugu. Adibideak eta konponbideak eztabaidatzeko hurrengo ataletan dugu. TAC bakarrik uste dugu Ekuazio mota ohikoena delako. Ohikoak subespezie banatuta: banandua aldagai, homogeneoa eta heterogeneoa batera. Hurrengo zenbat datoz elkarrengandik dira ikasiko duzu, eta ikasteko nola konpondu nahi.

Gainera, ekuazio horiek konbinatu daiteke, beraz, lehen mailako ekuazio diferentzial sistema bat lortuko dugu ondoren. Horrelako sistemetan, at ere begiratu dugu, eta ikasteko nola konpondu.

Zergatik lehen ordena bakarrik kontuan hartuta dugu? beharrezkoa da soil batekin hasteko eta guztiak Ekuazio diferentziala lotutako deskribatzeko, artikulu bakar batean delako ezinezkoa da.

aldagaiak bereizten dituzten ekuazioak

Hau da, beharbada lehenengo ekuazioak errazena ordena diferentziala. y '= f (x) * f (y): Hauek adibide hori honela adieraz dezakegu daude. Ekuazio hau konpontzeko irudikapen eratorria formula behar dugu diferentziala erlazioa bezala: y '= dy / dx. dy / dx = f (x) * f (y): Berarekin ekuazioa lortuko dugu. Aurrera aldakorra y guztia bereizteko aldagai zatitan, hots azkarra zatia non dago dy, eta, gainera, aldagai x egiteko ...: Orain adibide estandarra konpontzeko metodo piztu dezakegu dy / f (y) = f (x) dx, hau da, bi zati integral hartu lortzen: inprimakia ekuazio bat lortzen dugu. Ez konstante buruzko ahaztu integrazioa ondoren jarri nahi duzula.

edozein "diffura" konponbidea - x funtzioa a y ek (gure kasuan) da, edo ez numerikoa baldintza bat bada, erantzuna zenbaki bat da. Dezagun adibide bat erabakia ikastaro osoa aztertu digu:

y '= 2y * sin (x)

Transferentzia aldagai norabide ezberdinetan:

dy / y = 2 * sin (x) dx

Orain hartu integralak. Horiek guztiak integralak taula berezi bat aurki daiteke. Eta lortuko dugu:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Behar izanez gero, eta "y" "X" funtzio bezala adierazi ahal izango dugu. Orain esan dezakegu gure diferentziala ekuazioa konpondu da, baldintza zehaztu ez bada. zehaztu daiteke baldintza, adibidez, y (n / 2) = e da. Orduan, besterik gabe egingo dugu ordezkatuko erabakia aldagai horien balioa eta etengabeko balioa aurkitu. Gure adibidean, 1 da.

Homogeneoa lehen ordena diferentziala ekuazioak

Orain zatiak konplexuagoa on. y '= z (x, y): lehen ordena diferentziala Ekuazio homogeneoak bezala forma orokorra idatzitako daiteke. Kontuan izan behar da, eskuineko bi aldagai funtzioa dela uniformea da, eta ezin da bi banatzen arabera: z x eta y z. Check ekuazioa homogeneoa da edo ez, nahiko sinplea da: ordezkapen x = k * x eta y = k * y egin dugu. Orain k guztiak moztu dugu. hizki hauek jaitsi badira, orduan ekuazioa homogeneoa eta segurtasunez bere irtenbide jarraitu ahal izango da. Aurrera begira, esango dugu: adibide horiek konponbidea printzipioa ere oso erraza da.

y = t (x) * x, non t - funtzio bat ere x araberakoa: ordezkapena egin behar dugu. y '= t' (x) * x + t: Ondoren eratorri adierazi ahal izango dugu. hori guztia ordezkatzeak gure jatorrizko ekuazioa sartu eta sinplifikatu, aldagai t bereizketa x bezala adibidea dugu. Ebatzi du eta t (x) mendekotasuna lortzeko. Noiz lortu dugu, besterik ordezkatu gure aurreko ordezkapen y = t (x) * x. Ondoren y menpekotasuna x on lortu dugu.

hura argiagoa izan dadin, adibide bat ulertuko dugu: x * y '= yx * e y / x.

Noiz guztiak gainbeheran ordezkatzeko egiaztapena. Beraz, ekuazioa benetan homogeneoa da. Orain egin ordezkapen beste, hitz egin dugu: y = t (x) * x eta y '= t' (x) * x + t (x). sinplifikazio ondoren, honako ekuazioa: t '(x) * x = -e t. aldagai bereizidun lagin bat lortzeko erabakitzeko dugu eta ^{lortuko dugu: e -t = ln (C *} x). besterik t ordezkatu behar dugu y / x (baita y = t * x, orduan t = y / x), eta ^erantzuna lortuko ^{dugu: e -y / x = ln (} x * C).

Lineala lehen mailako ekuazio diferentziala

denbora beste gai zabala kontuan hartu behar da. heterogeneoa lehen ordenako ekuazioak diferentziala itxura izango dugu. Nola datoz aurreko bi dira? Dezagun aurre. Lineala lehen ordena diferentziala ekuazioak ekuazioa forma orokorra idatzita egon daiteke horrela: y '+ g (x) * y = z (x). argitu behar da z (x) eta g (x) duten balioak konstante izan daitezke.

- y * x = y ': Hona hemen adibide bat x ^2.

Bi modu daude konpondu, eta dezagun biak aztertu digu aginduko dugu. Lehen - konstanteak arbitrarioak aldakuntza metodoa.

Modu honetan ekuazioa konpontzeko, beharrezkoa da lehen eskuinaldean equate zero, eta ondorioz, ekuazio horren ondoren zati transferentzia bihurtzen konpontzeko:

y '= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y xdx =;

ln | y | = x ^2/2 + C;

y = e ^{x2 / 2} * ^C y = C ₁ * e ^{x2 / 2.}

Orain beharrezkoa da etengabeko C ₁ ordezkatzeko funtzioa v (x), zein aurkituko dugu on.

y = v * e ^{x2 / 2.}

Berdindu ordezko eratorria:

^{y '= v' * e x2} / ² -x * v * e ^{x2 / 2.}

Eta adierazpen horiek jatorrizko ekuazioa sartu ordezkatuz:

v '* e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Ikusi ahal izango duzu ezkerreko bi termino aldean ere murriztu egiten dira. Adibidez, zenbait ez bada gertatuko dela, orduan zerbait gaizki egin duzu. jarraituko dugu:

v '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Orain ohiko ekuazio horietan aldagaiak bereizteko Nahi izanez konpondu dugu:

DV / dx = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

DV = x ² * e ^{- x2 / 2} dx.

integral kentzeko, integrazioa aplikatzeko zatika hemen dugu. Hala ere, hau ez da artikulu honen gaia. Oraindik nahi izanez gero, beren kabuz ikasi ahal izango duzu ekintza horiek burutzeko. Ez da zaila, eta nahikoa maila eta kontuz, ez da denbora kontsumitzen.

Bernoulli-metodoa: Bigarren metodoa du inhomogeneous ekuazioak soluzio aipatuz. Zer planteamendu azkarragoa eta errazagoa - da, sortu nahi duzun.

y = k * n: Beraz, noiz metodo hau konpontzeko, ordezkapena egin behar dugu. Hemen, K eta n - funtzio batzuk x arabera. '= K' * n + k * n y ': Ondoren eratorri bezala egingo begiratu. Ordezko bi ordezkapenak ekuazioa:

k '* n + k * n ' + x * k * n = x ^2.

Group eman:

k '* n + k * ( n' + x * n) = x ^2.

Orain beharrezkoa da zero equate, hori parentesi da. Orain, bi ekuazioak ondorioz konbinatzen baduzu, lortuko dugu eskaera lehen ekuazio diferentzial sistema bat konpondu behar da:

n '+ x * n = 0;

k '* n = x ^2.

Lehenengo berdintasuna erabaki nola ohiko ekuazio. Horretarako, aldagai bereizteko behar duzu:

dn / dx = x * v;

dn / n = xdx.

integral hartu dugu eta lortuko dugu: ln (n) = x ^2/2. Orduan, n adierazteko badugu:

n = e ^{x2 / 2.}

Orain ordezkatuko ondorioz ekuazioa bigarren ekuazioa sartu:

k '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Eta eraldatzeko, ekuazio bera lehen metodoa bezala lortu dugu:

DK = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

Guk ere ez da izango ekintza gehiago eztabaidatzeko. Esaten da lehen ordenako ekuazioak diferentziala hasiera batean konponbide zailtasun handia eragiten du. Hala ere, gaian murgiltzeko sakonagoa hobea eta hobea lortzeko hasita.

Non daude ekuazio diferentziala?

fisikan erabiltzen den diferentziala ekuazioak oso aktibo, ia oinarrizko lege guztiak Formulario diferentziala idatzita, eta formula horiek, hau ikusten dugu - Ekuazio horiei irtenbide bat. Kimikan, arrazoi beragatik erabiltzen dira: oinarrizko legeek horien bitartez eratortzen dira. harrapariak - biologia, ekuazio diferentziala sistemak, hala nola harraparia bezala portaera ereduetan erabiltzen dira. ere erabil daitezke dute ugalketa ereduak sortzeko, adibidez, mikroorganismoen kolonia.

Ekuazio diferentziala bizitzan lagungarri bezala?

Galdera honen erantzuna oso sinplea da: ez da ezer. Ez bazara, zientzialari edo ingeniariak, zaila da erabilgarria izango dute. Hala ere, ez du minik jakin zer diferentziala ekuazioa da, eta garapen orokorra egiteko konpondu. Eta gero, semea edo alaba, auzia "zer ekuazio diferentziala bat?" ez jarri hildako amaiera batean. Beno, zauden zientzialaria edo ingeniaria bazara, ondoren, edozein zientzia Gai honi garrantzia ezagutzen duzu. Baina garrantzitsuena, orain galdera hori "nola, lehen mailako ekuazio diferentziala ebatzi behar?" Beti izango erantzun bat emateko gai izango duzu. Ados, beti da polita denean konturatzen zara zer pertsonak direla, nahiz eta beldur jakiteko.

arazo nagusia ikerketan

Gai honi ulertzeko arazo nagusia integrazioa eta bereiztea funtzio ohitura txarra da. zara deseroso bada GAIN HARTU deribatuak eta integralak, ziurrenik merezi gehiago ikasteko, integrazioa eta diferentziazioa metodo desberdinak ikasteko da, eta soilik ondoren materialaren azterketa dela artikuluan azaldutako jarraitzeko.

Batzuek harrituta dx hori transferitu daitezkeen ikasteko dira, aldez aurretik (eskolan) argudiatu frakzioa dy / dx dela zatiezina da. Ondoren eratorria buruzko literatura irakurri behar duzu eta ulertzen kopuru infinituki txiki, zein ekuazioak ebazteko manipulatu ahal jarrera dela.

Jende askok ez dira berehala konturatzen lehen mailako ekuazio diferentzial konponbidea dela - hau da, askotan funtzio bat edo neberuschiysya integral, eta ilusio horren arazoak asko ematen die.

Zer gehiago aztertu ahal izango dira hobeto ulertzen?

Hobe da murgiltze gehiago hasteko testu-liburuak espezializatuen kalkulu diferentziala mundura, adibidez, espezialitate ez-matematiko ikasleentzat azterketa matematiko batean. orduan dezakezu literatura espezializatuagoa mugitu.

Esaten da, hau diferentziala gain, badira oraindik ekuazioak integral, beraz, beti izango duzu zerbait lortzeko ahaleginak eta zer ikasi nahi dute.

ondorio

Artikulu hau irakurri ondoren zer Ekuazio diferentziala eta nola behar bezala konpontzeko ideia bat izango duzu espero dugu.

Edonola ere, inolaz gurekin erabilgarria bizitzan matematika. Logika eta arreta, eta hori gabe man guztietan, eskuak gabe garatzen ditu.