Diferentziala - Zer da hau? Nola funtzioaren diferentziala aurkitu?

eratorriak Batera beren funtzioak diferentziala - da oinarrizko kontzeptuak batzuk diferentziala kalkulu, of atalean nagusia analisi matematiko. erabat lotuta bezala, biak hainbat mende oso zabalduta dagoela, jarduera zientifiko eta teknikoaren ikastaroa sortu zen ia arazo guztiak konpontzeko erabiltzen.

diferentziala kontzeptua sorrera

Lehen aldiz egin duen argi diferentziala hala nola, sortzaileetako bat (Isaakom Nyutonom batera) diferentziala kalkulu Alemaniako matematikari ospetsua Gotfrid Vilgelm Leybnits. Horren aurretik 17an mendeko matematikariak. erabili zenbait infinitesimala "undivided" edozein funtzio ezagunen ideia oso argi eta vague, oso txikia etengabeko balio bat baina ez zero, horren azpitik baloratzen funtzioa ezin besterik izan ordezkari. Hori dela funtzioa argumentuak eta haien dela, azken honen eratorriak dagokionez adieraz daiteke funtzio zatituko dagozkien zatituko infinitesimala nozioak sarrera urrats bat besterik ez zen. Eta urrats hori gainetik bi zientzialari handia hartu zuten ia aldi berean.

Oinarritutako beharra premiazko praktikoa mekanika zientziaren aurre duten arazoei aurre egiteko on azkar industria eta teknologia garatzeko, Newton eta Leibniz aldaketa-tasa funtzioak aurkitzeko modu komun sortu, zein kontzeptu, hala nola sarrera ekarri (batez ere ezaguna ibilbidea gorputzaren abiadura mekanikoa dagokionez), funtzio eratorri eta diferentziala gisa, eta, gainera, aurkitutako algoritmoa alderantzizko arazoa irtenbide ezaguna per se (aldakorra) gisa zeharkatu abiadura bidea dela integral kontzeptua ekarri aurkitu Ala.

Leibniz eta Newton-en ideia lanak lehen agertu da diferentziala dela - oinarrizko argumentuak gehikuntza Δh zatituko arrakastaz egin daiteke aplikatu, azken honen balioa kalkulatzeko Δu funtzio proportzionala. Bestela esanda, aurkitu dute gehikuntza funtzio bat duen edozein puntu (bere definizio domeinu barruan) egon da bere eratorriak bai Δu = y '(x) Δh + αΔh non α Δh bidez adieraz - gainerako, Δh → gisa zero joera 0, benetako Δh baino askoz azkarrago.

analisi matematiko sortzaileetako arabera, diferentziala - hau da, zehazki edozein funtzio zatituko lehen terminoa. Nahiz eta argi eta garbi definitu muga kontzeptua sekuentziak a intuizioa ulertu eratorria balioa diferentziala joera hori funtzionatzeko beharrik gabe denean Δh → 0 - Δu / Δh → y '(x).

Newton, nor zen nagusiki fisikari eta aparatu matematiko egiteko arazo fisikoak aztertzen dituen tresna lagungarri gisa jotzen ez bezala, Leibniz ordaindu arreta gehiago toolkit honetarako, ikusmen eta uler ikurrak balioak matematiko sistema bat barne. Nork proposatu diferentziala funtzioa dy of idazkera estandarra = y '(x) dx, dx, eta argumentu funtzioa beren harremana y bezala eratorria da' (x) = dy / dx zuen zen.

definizio modernoa

Zer da matematika modernoaren dagokionez diferentziala? Da estuki gehikuntza aldagai baten kontzeptua lotuta. aldagaia y y y = ₁ lehen balio bat hartzen _bada, orduan y = y _2, diferentzia y ₂ ─ y ₁ deritzo gehikuntza balio y duena. gehikuntza positiboak izan daitezke. negatiboa eta zero. Hitza "gehikuntza" izendatzen da Δ, Δu grabaketa (irakurri 'delta y') gehikuntza y balioa adierazten du. beraz Δu = y ₂ ─ y _1.

Balio Δu funtzioa arbitrarioak y = f (x) Δu = A Δh + α, non A Δh menpekotasuna ez, t gisa irudikatzen badaiteke. E. A = Emandako x for eraikiak, eta epe α the Δh → 0 ohi denean are benetako Δh, ondoren, lehenengo ( "maisua") terminoa proportzionala Δh baino azkarrago da, eta y = f (x) diferentziala da, adierazten da dy edo df (x) (irakurri "y de", "de EFF X-tik"). Beraz diferentziala - a "nagusia" lineala zatituko Δh funtzio osagaiak aldean.

azalpen mekanikoa

Let s f (t) = - lerro zuzenean mugitzen distantzia material point (- bidaia denbora t) hasierako posizio batetik. Gehikuntza Δs - denbora-tarte bat Δt zehar bide puntua da, eta diferentziala DS = f '(t) Δt - bide hau, eta horrek puntu dira aldi ospatu litzateke Δt, atxiki abiadura f bada' (t), t denboran iritsi . infinitesimal Δt ds irudimenezko bidea benetako Δs du infinitesimally Δt aldean ordena handiagoa izatea desberdina denean. Denbora t at abiadura ez da zero bada, gutxi gorabeherako balio ds bias txiki puntua ematen du.

interpretazio geometriko

Demagun line L y = f (x) grafikoa da. Ondoren Δ x = MQ, Δu = QM '(ikusi. Irudikatu behean). Ukitzailea MN apurtzen Δu bi zati, QN eta NM 'moztu. Lehenik eta Δh da proportzionala QN = MQ tg (angelu QMN) = Δh f '(x), t. E QN dy diferentziala da ∙.

aldea Δu NM'daet ─ dy, noiz Δh → 0 NM luzera "are argumentu gehikuntza baino azkarrago jaisten da, bigarren zatia, hau txikitasunean Δh baino handiagoa ordena dauka. Kasu honetan, f '(x) ≠ 0 (tangentea ez-paralelo OX) segmentu QM'i QN baliokidea bada; bestela esanda NM 'azkar gutxitzen (bere goi mailako txikitasunean ordena) guztira gehikuntza Δu = QM baino'. Hau irudia (hurbiltzen segmentu M'k M NM'sostavlyaet guztiak txikiagoa ehunekoa QM 'segmentuan) ere nabarmena da.

Beraz, grafikoki diferentziala funtzioa arbitrarioak tangente of ordinate gehikuntza berdina da.

Eratorririk eta diferentziala

adierazpen gehikuntza funtzioa lehen terminoa faktorea bere f eratorria '(x) balioa berdina da. Horrela, honako erlazioa - dy = f '(x) Δh edo df (x) = f' (x) Δh.

Jakina da argumentu independente gehikuntza bere diferentziala Δh = dx berdina da. Ondorioz, idatzi ahal izango dugu: f '(x) dx = dy.

Aurkitzea (batzuetan esan du "erabakia" izango da) diferentziala da arau berak deribatuak gisa egindako. Horietako zerrenda bat azpian ematen da.

Are gehiago unibertsala: argumentua edo bere diferentziala gehikuntza

Hemen beharrezkoa da azalpenak batzuk egiteko. Ordezkaritza balio f '(x) diferentziala Δh ahal denean x argumentu gisa hartuta. Baina funtzioa konplexua da, bertan x argumentu t funtzioa izan daiteke izan daiteke. Orduan f '(x) Δh adierazpen diferentziala irudikapena, oro har, ezinezkoa da; menpekotasun lineala x = + b at kasuan izan ezik.

formula f den bezala '(x) dx = dy, orduan argumentu independente x kasuan (orduan dx = Δh) parametrikoa x t menpekotasuna kasuan ere, diferentziala da.

Adibidez, adierazpen 2 x Δh y = x ² bere diferentziala denean x argumentu da da. orain x = t ² eta suposatuko dugu t argumentu. Ondoren y = x ² = t ^4.

Hau da (t + Δt) ² = t ² + 2tΔt + Δt ² eta ^jarraian. Hori dela Δh = 2tΔt + Δt ^2. Hori dela: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

Adierazpen hau ez da proportzionala Δt, eta, beraz, orain 2xΔh ez dago diferentziala. ekuazio y = x ² = t ⁴ aurki ^daiteke. berdinak dy = 4t ³ Δt da.

Adierazpen 2xdx hartu badugu, diferentziala y = x ² Edozein argumentu t da. Izan ere, x = t ² lortzeko dx = 2tΔt.

Beraz 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t. E. grabatutako bi aldagai hainbat adierazpen diferentziala The datoz.

zatituko diferentziala ordeztea

f bada '(x) ≠ 0 bada, Δu eta dy baliokidea (noiz Δh → 0); baldin f '(x) = 0 (esanahia eta dy = 0), ez dira baliokideak.

Adibidez, y = x ^2, orduan Δu = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² eta dy bada = 2xΔh. Bada x = 3, orduan ez dugu Δu = 6Δh + Δh ² eta dy = 6Δh hori baliokidea dela eta Δh ² → 0 dira, noiz x = 0 balioa Δu = Δh ² eta dy = 0 ez dira baliokideak.

Izan ere, hau, diferentziala egitura sinple batera (m. E. Δh aldean linealtasun), askotan gutxi gorabeherako kalkulua erabiltzen da, hipotesi on Δu ≈ Δh txikietarako dy dela. Aurki diferentziala funtzioa izaten da errazago baino gehikuntza balioa zehatza kalkulatzeko.

Adibidez, kubo metalikoa dugu ertz x = 10.00 cm. Δh = 0.001 cm nola handitu bolumen kubo V. on luzatu ertzean berotzeko On? V = x ^{2 daukagu,} hori DV = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ otsailaren ¹⁰ 0/01 = 3 (cm ^{3) beraz.} Handitu ΔV baliokidea diferentziala DV, beraz ΔV = 3 cm ^3. Kalkulu osoa ³ ΔV = 10,01 ─ martxoak ¹⁰ = 3.003001 emango luke. Baina digituak guztiak lehen ezinda ezik ondorio da; beraz, oraindik beharrezkoa da biribiltzeko 3 cm ^{3 da.}

Jakina, planteamendu hau baliagarria da posible da error batekin emango balioa balioesteko bada bakarrik.

Funtzio diferentziala: adibideak

Dezagun saiatu funtzioa y = x ³ diferentziala ^aurkitzeko, eratorri aurkitzeko. Dezagun argumentu gehikuntza Δu eman digu eta definitzeko.

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

Hemen, koefizientea A = 3x ² ez du Δh araberakoa izango da, beraz, lehen epe proportzionala Δh, beste kidea 3xΔh Δh ² + ³ denean Δh → 0 txikitzen argumentu gehikuntza baino azkarrago. Ondorioz, of 3x ² Δh kidea y = x ³ diferentziala ^da:

dy = 3x ² Δh = 3x ² dx edo d (x ³⁾ = 3x ² dx.

Zertan d (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy orain aurkitzen dugu funtzioa y = 1 / x eratorria da. Ondoren d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. Beraz dy = ─ Δh / x ^2.

Diferentziala oinarrizko aljebraiko funtzioak jarraian ematen dira.

Gutxi gorabeherako kalkuluak diferentziala erabiliz

funtzioa f (x) ebaluatzeko, eta horren eratorriak f '(x) x = a izaten da zaila, baina gauza bera egiteko x = a inguruetan ez da erraza. Ondoren gutxi gorabeherako adierazpen laguntzarekin etorri

f (a + Δh) ≈ f '(a) Δh + f (a).

Hau gutxi gorabeherako funtzioaren balioa zatituko txiki batean bere diferentziala Δh f '(a) Δh bidez ematen.

Beraz, formula honen amaieran luzera Δh zati bat puntuan bere balioa batura bat hasierako zatia (x = a) eta hasierako berberak puntuan diferentziala puntuan bezala funtzioaren espresioa gutxi gorabeherako bat ematen du. Behean funtzioaren balioak zehazteko metodoa zehaztasuna marrazkia erakusten.

Hala ere ezagutzen da, eta funtzioa x = a + Δh balioa formula finitu zatituko emandako aldeko adierazpen zehatza (edo, bestela, Lagrange-ren formula)

f (+ Δh a) ≈ f '(ξ) Δh + f (a),

non puntua x = a + ξ batetik x = a x = a + Δh tartean dago, nahiz eta bere jarrera zehatza ezezaguna da. formula zehatza gutxi gorabeherako formula akats ebaluatzeko aukera ematen du. jarri ditugu Lagrange formula ξ = Δh / 2 bada, goraipatu du zehatzak izan arren, baina ematen du, oro har, jatorrizko adierazpen baino askoz hobeto hurbilketa bat diferentziala dagokionez.

Ebaluazioa formulak error diferentziala aplikatuta

instrumentuak neurtzea , printzipioz, zehaztugabeak, eta akats dagokion neurketa datuen ekarri. Dute mugatuz ezaugarri absolutua error, positiboa, balio absolutua (edo, gehienez berdina da) in error argi gainditzen -, muga akatsa edo, azken batean. Mugatzea error erlatiboa zatituko neurtutako balioa balio absolutua arabera lortutako zatidura deritzo.

Demagun vychislyaeniya y erabilitako zehatza formula y = f (x) funtzioa, baina x balioa neurtzeko emaitza da, eta, beraz, y error dakar. Ondoren, mugatuz error absolutua │Δu│funktsii y aurkitzeko, formula erabiliz

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

non │Δh│yavlyaetsya marjinala error argumentu. kantitatea │Δu│ biribildu behar dira gorantz, gisa zehaztugabeak kalkulua bera diferentziala kalkulatzeko on gehikuntza ordezkatzea da.