Bat-funtzioak eta hainbat aldagai kalkulu diferentziala

Kalkulu diferentziala analisi matematiko, zein eratorria, diferentziala eta funtzioak aztertzeko erabilera aztertzen adar bat da.

istorioa

Kalkulu diferentziala diziplina independente gisa sortu zen 17an mendearen bigarren erdian, Newton eta Leibniz, nor oinarrizko xedapenak formulatu diferentziala kalkulatzeko eta integrazio eta bereiztea arteko lotura ohartu lanari esker. diziplina geroztik zehar garatu zuen integralak kalkulatzeko batera, horrela, analisi matematiko oinarrituta eratuz. kalkuluak horiek itxura mundu matematiko aldi modernoan berria inauguratu eta zientzia diziplina berriak azaleratzea eragin. Era matematika aplikatuz natur zientziak eta ingeniaritza aukera, luzatu.

oinarrizko kontzeptuak

Kalkulu diferentziala matematikako oinarrizko kontzeptuak oinarritzen da. Hauek dira: benetako zenbaki, jarraipena eta funtzioa muga. Denbora baten ondoren, hartu dute itxura moderno bat, kalkulu integral eta diferentziala esker.

sortzeko prozesua

kalkulu diferentziala aplikazio baten forma du, eta, ondoren, metodo zientifikoa en eraketa teoria filosofikoa izan zen, Nikolay Kuzansky sortutako azaleratzea lehenago gertatu da. Bere lana jotzen da epaia antzinako zientzia garapen eboluzio bat izan nahi du. Izan ere, filosofoak berak ez zen matematikari bat izan arren, bere zientzia matematiko garapena ekarpen ukaezina da. Cusa, aritmetika kontuan lehen out the zientzia zehatzena bezala bat, matematika ordua jarriz zalantzan jartzen.

Antzinako matematikariek ere irizpide unibertsal unitate bat zen, neurri infinitua berri gisa proposatu filosofoak itzultzeko kopuru zehatza bitartean. zehaztasuna errepresentazio alderantzizko honek zientzia matematiko batean lotuta. ezagutza zientifiko, bere ustez, ez dago arrazional eta burutsua banatuta. Bigarrena zehatzagoa da, zientzialari arabera, lehenengoak gutxi gorabeherako emaitzak bakarrik ematen geroztik.

ideia

Oinarrizko ideia eta kalkulu diferentziala funtzioa lotutako zenbait puntu auzoan txiki batean kontzeptua. Hau beharrezkoa da aparatu matematiko ikasketak horren portaera instalatutako itxi funtzioa lineala edo polinomio baten portaera puntu auzo txiki batean funtzionatzeko sortzeko. Oinarritutako eratorri eta diferentziala definizioa honetan.

sorrera eratorria kontzeptua zen natur zientziak eta matematika arazoak, eta hori muga mota bereko baloreak determinazioa ekarri kopuru handia eragiten dute.

diren adibide gisa eman, eskolara zaharrena klaseak hasita zereginak nagusietako bat da, puntu bat mozioa abiadura zehazteko lerro zuzenean eta tangentea kurba horri line eraikuntzan. diferentziala hau lotuta, posible da funtzioa hurbiltzeko funtzioa lineala puntua auzoan txiki batean geroztik.

benetako aldagai baten funtzio baten deribatua kontzeptua alderatuta, diferentziala definizioa besterik bestera espazio euklidearra baten irudia izaera orokorreko funtzioa pasatzen da, bereziki.

eratorria

Demagun puntu y ardatzean norabidean mugitzen da, aldiz, x, den une batean hasieratik neurtuta hartuko dugu. mugimendu bat, hala Azaldu da posible funtzioa y = f (x), hau da, bata denbora puntua x lotutako koordinatzeko displaceable point bidez. Funtzio mekanika dei Hau mugimenduaren legeak hartzeko. mozioa, batez irregularra, ezaugarri nagusia da berehalako abiadura. Noiz puntua y ardatzean zehar dabilenean mekanika legearen arabera, ausazko denbora point koordinatzeko x f (x) erosi zuen. Garai puntua x + Δh, non Δh denbora gehikuntza adierazten har, f (x + Δh) kordinaty egingo da. Horrela eratutako formula Δy = f (x + Δh) - f (x), hau da gehikuntza funtzioa izenekoa. denbora zehar zeharkatzen x + Δh den x bidea puntu bat da.

Denbora eratorria abiadura agerraldia lotuta administratzen da. edozein funtzio deribatua puntu finko bat mugara deitu (suposatuz existitzen). It pertsonaiak zenbait aipatzen daitezke:

f '(x), y', y, df / dx, dy / dx, Df (x).

dei-bereizketaren eratorria kalkulatzeko prozesua.

zenbait aldagai funtzioen kalkulu diferentziala

Metodo hau aplikatzen denean, funtzioa azterketa, hainbat aldagai kalkulatzeko. Noiz badira bi aldagaiak x eta y, x dagokionez puntua A hartan eratorriak partziala x-en funtzio hori y finko batekin eratorria deritzo.

Hurrengo ikurrak by daitezkeela adierazten da:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x eta ∂f (x, y) '/ ∂x.

Beharrezko gaitasunak

Ordena behar bezala ikasteko, eta diffury beharrezko trebetasunak konpontzeko integrazioa eta bereiztea gai batean. errazago Ekuazio diferentziala ulertzeko egiteko, ulertu behar da gaia eratorri eta mugagabea integral. Era berean, ez du minik funtzio inplizitua eratorria bilatzen ikasteko. Izan ere, ikasketa-prozesuan, maiz erabiliko du integralak eta bereiztea ondorioz.

Ekuazio diferentziala motak

Ia lotutako kontrol lan guztia lehen ordenako ekuazioak diferentziala, homogeneoa, aldagaiak bereizten dituzten, lineala inhomogeneous: 3 Ekuazio mota daude.

Badira ere gehiago arraroa espezie diferentziala guztira, Bernoulli-ren ekuazioa, eta besteekin ekuazioak.

oinarriak soluzioak

Hasteko, gogoratu behar dugu eskola ikastaro baten ekuazio algebraiko da. aldagaiak eta zenbakiak eduki dute. ordena ekuazioa konbentzionalak baldintza jakin baten asetzen dituzten zenbakiak ugari aurkitu behar konpondu ahal izateko. Normalean, ekuazio horiek erro bat dute, eta balioztatzeko bakarrik balio hau ordezkatuko luke leku ezezagun batean.

ekuazio diferentziala honen antzekoa da. Oro har, lehen mailako ekuazio bat osatzen dute:

• Independent aldakorra.
• Lehenengo funtzioa eratorria.
• Funtzio edo menpeko aldagai.

Kasu batzuetan, ez dago inor ezezaguna, x edo y izan daiteke, baina ez da garrantzitsua gisa beharrezkoa da lehen eratorria izatea, ez konponbidearen eta diferentziala kalkulu ahal izateko goi mailako eratorri gisa egia izan ziren.

Ebatzi diferentziala ekuazioa - hori egokia eman adierazpen dira funtzio guztien multzoa aurkitu esan nahi du. Horrelako funtzio multzo, sarritan, irtenbide orokor kontrola.

kalkulu integrala

Integral kalkulu analisi matematiko, zein integral, propietate eta bere kalkulua metodo kontzeptua aztertzen atal bat da.

Askotan integral kalkulatzeko gertatzen mugimenduetara forma bat azalera kalkulatzean. Honen bidez muga inguruan, eta horrek bidean aurrez zehaztutako inskribatuaren poligono eskuan pixkanakako gehikuntza, eta datuak albo batera forma azalera bat egin ahal izango da edozein aurrez zehaztutako arbitrarioak balio txikiak baino gutxiago esan nahi du.

edozein forma geometriko eremua kalkulatzeko ideia nagusia laukizuzen baten azalera kalkulatzea da, gero ez dago frogarik bere inguruan zabalera arabera luzera produktu berdina da. Noiz Geometriarentzat dator, orduan eraikuntza guztien arteko buruzagi eta iparrorratza erabiliz egin dira, eta ondoren luzera erlazioa zabalera balio arrazional bat da. Noiz triangelu baten azalera kalkulatzeko zehaztu daitezke hurrengo triangelu bat jarri baduzu, laukizuzen bat sortzen da. paralelogramo horren inguruan dauden antzeko baina apur bat zailagoa metodo bat kalkulatuta, laukizuzen bat eta triangelu baten barruan. Poligono baten esparruan dago sartuta triangelu ustez.

arbitrarioak erruki zehazteko, metodo hau ez da kurba sartzen. apurtu dugu karratu banakako sartu, unfilled lekuetan egongo da. Kasu honetan, saiatu birá erabiltzeko, laukizuzenak gainetik eta azpitik batera, horien ondorioz, besteak funtzioaren grafikoaren eta ez dira sartzen. Garrantzitsua da hemen laukizuzenak horiek hausteko modu bat da. Era berean, gero eta gehiago murriztu break hartu badugu, goiko eta beheko eremuan behar balio jakin bat egiten duten lekuan.

metodo bat itzuliko litzatekeen laukizuzenak bereizten da. bi metodo ezagun daude.

Riemann formalizatu zen integral, Leibniz eta Newton sortutako definizioa, subgraph azalera gisa. Kasu honetan, zifra tartea zatituz lortutako laukizuzenak bertikala kopuru jakin bat osatzen dute jotzen dugu. jaitsiera bat hautsi zenean han muga murriztu figura horren inguruan zein den, muga hori Riemann funtzio baten integralaren tarte jakin batean deritzo da.

bigarren metodo bat da Lebesgue integrala eraikitzeko, izan ere, bereizketa lekuan dagoela izendatutako eremu integrakizuna zati baten gainean eta ondoren konpilatzean zati horiek lortutako balioen batura integral, tarteka bere balio-sorta banatzen da, eta, ondoren, dagokion neurriak alderantzizko integralak hauen irudiekin laburbildu in osatua.

laguntzak modernoa

aldeko diferentziala eta kalkulu integralaren Fikhtengol'ts azterketaren onurak nagusietako bat idatzi zuen - "diferentziala eta kalkulu integralaren". Bere testu liburua analisi matematiko azterketan, eta horrek asko argitalpen eta itzulpen jasan beste hizkuntzetara oinarrizko tresna da. ikasleei eta denbora luzez hezkuntza erakundeak hainbat erabilitako ikerketaren onurak nagusietako bat bezala sortu. Informazio teoriko eta trebetasun praktikoak ematen du. Lehenengoa 1948 argitaratu.

Algorithm ikerketa funtzioa

Kalkulu diferentziala funtzioaren metodo arakatzeko, jarraitu dagoeneko ematen da algoritmoa behar duzu:

1. Aurki funtzioaren domeinua.
2. Aurki emandako ekuazio sustraiak.
3. Kalkulatu muturren. Horretarako, eratorri eta puntua non zero dela kalkulatu dugu.
4. Ekuazioko lortutako balioa ordezkatuko dugu.

Ekuazio diferentziala aldaerak

Lehenengo ordena (bestela, aldagai bateko Kalkulu diferentziala) eta bere mota kontrola:

• f (y) dy = g (x) dx: banandua aldagai ekuazio batera.
• Errazena ekuazioa edo diferentziala kalkulu aldagai baten funtzioa, formula izatea: y '= f (x).
• The lineala lehen mailako nonuniform control: y '+ P (x) y = Q (x).
• Bernoulli diferentziala ekuazioa: y '+ P (x) y = Q (x) y a.
• Ekuazio diferentziala osoz: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Ekuazioak bigarren ordena eta beren moten:

• Homogeneoa lineala ekuazio bigarren ordena diferentziala ^koefiziente konstante ^{batekin: y n + py '+ qy} = 0 p, q dagokio R.
• Inhomogeneous lineala bigarren ordena ekuazioa diferentziala koefiziente etengabeko ^{balio hauekin: y n + py '+ qy} = f (x).
• Homogeneoa lineala diferentziala ^{ekuazioa: y n + p (x)} y '+ q (x) y = 0, eta inhomogeneous bigarren ordena ^{ekuazioa: y n + p (x)} y' + q (x) y = f (x).

aginduak handiagoak eta beren moten Ekuazio diferentziala:

• The diferentziala ekuazioa, ^ordena murriztea ^{ahalbidetuz: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• ^{_{y (n) + f (:}} ordena altuagoa ^_homogeneoa ekuazio lineal A n- ₁₎ y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = 0, eta ^{_{inhomogeneous: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = f (x).

arazoa konpontzen diferentziala ekuazio batera etapak

Urruneko kontrol laguntzaz konpondu ez bakarrik matematikan edo arazo fisikoak, baina baita hainbat biologia, ekonomia, soziologia eta besteen arazoak. gai askotariko arren, logika sekuentzia bakar bat jarraitu behar arazo horiek ebazteko:

1. egitea kontrola. zailena etapa, eta horrek gehienez zehaztasuna eskatzen, akatsak egingo emaitzak erabat oker eramaten delako bat. Beharrezkoa da prozesuan eragiten duten faktore guztiak kontuan hartu eta hasierako baldintza zehaztu. Era berean, datu eta ondorio logikoak oinarritzen luke.
2. ekuazioak ebazteko. Prozesu honek, lehen puntua errazagoa da, kalkulu matematiko ezartzea zorrotza eskatzen du soilik geroztik.
3. Analisi eta emaitzak ebaluatzeko. Eratorritako irtenbide emaitzaren balio praktiko eta teorikoa instalazioa behar ebaluatu.

diferentziala erabileraren adibide bat medikuntzan ekuazioak

medikuntza arloan urruneko kontrolean erabiltzen ari da epidemiologikoa eredu matematiko eraikitzea aurkitu. Ez dugu ahaztu behar Ekuazio horiek ere biologia eta kimika dira, medikuntza hurbil egoten dira, paper garrantzitsua ezberdinak populazio biologiko eta giza gorputzean prozesu kimikoen azterketa jotzen duelako.

Adibide honetan, epidemia infekzioa hedatzea izango komunitatea isolatua tratatu daiteke. Biztanle hiru taldetan banatzen dira:

• Kutsatutako, x-kopurua (t), zein partikularrak, eramaile infekziosoen osatzen zuten, eta bakoitzak infekziosoen (inkubazio-aldi laburra da).
• Bigarren mota biltzen ditu jasan norbanako y (t), egon kutsatutako kontaktua kutsatuta daiteke.
• Hirugarren mota erregogorrak norbanako z (t) dira, immunitate edo gaixotasun ondorioz galdu egin dira.

Etengabe, jaiotze mantenduz, heriotza naturala eta migrazioak ez da kontuan gizabanako kopurua. muina bi hipotesi izango da.

Ehuneko denbora uneren gaixotasunak x (t) y (t) (oinarritutako teoriaren hipotesi gaixoen eta sentikorrena kideen arteko elkarguneak kopuruaren proportzioan kasu kopurua zein lehen hurbilketa batean x proportzionala da (t) y (t)), in berdina da beraz kasuen kopurua handitzen ari da, eta jasan jaitsierarik kopuruaren tasa hori da formula aizkora (t) y (t) arabera kalkulatzen at (a> 0).

ez-responders animaliak hil edo eskuratutako inmunitate Tasa hori da kasu kopurua, bx (t) (b> 0) proportzionala tan handitu kopurua.

Ondorioz, ezar dezakezu Ekuazio sistema baten ondorioak oinarri hartuta, hiru adierazle guztiekin.

ADIBIDEA erabilera ekonomia

Kalkulu diferentziala askotan analisi ekonomikoa erabiltzen da. analisi ekonomikoan zeregin nagusia jotzen da ekonomia balioak dira, funtzioaren forma grabatutako azterketan izan. It arazoak konpontzeko erabiltzen da, besteak beste, errentaren gaineko zerga handitzen aldaketak berehala ondoren, sarrera kuotak, betiere produktuaren balioa aldatzen sarreren aldaketak, zer proportzio ordezkatu daiteke ekipamendu berriak langile erretiratu arabera. Arazo hauei konpontzeko, beharrezkoa da komunikazio sarrerako aldagaiak, eta horrek, kalkulu diferentziala arabera aztertzen ari ondoren funtzio bat eraikitzeko.

beharrezkoa izaten da gehien optimoa errendimendua ekonomikoaren esparruan aurkitu: produktibitatea gehienez, errenta altuena, gutxienez kostua eta abar. besteak beste, osagai bakoitzak argumentu bat edo gehiago funtzio bat da. Adibidez, ekoizpenean egon lan- eta kapital-funtzio bat jo daiteke. Zentzu horretan, egokia balio bat aurkitzeko egon gehienezko edo gutxieneko aldagai baten edo gehiagoren funtzio baten aurkitzeko murriztu daiteke.

Horrelako arazo arlo ekonomikoan arazo extremal, eta horretarako, kalkulu diferentziala behar dituzun klase bat sortzeko. Noiz adierazle ekonomikoak eskatzen da minimizatu edo beste parametro funtzio bezala ahalik eta gehien aprobetxatu, gehikuntza ratio gehienez puntu argumentuak funtzioa izango zero ohi argumentu gehikuntza zero joera bada. Bestela, esaterako, jarrera jakin batzuk balio positiboa edo negatiboa ohi denean, zehaztutako puntu ez da egokia, handituz edo argumentu jaitsiz alda daitekeelako menpeko balioa nahi duzun norabidean. Kalkulu diferentziala terminologia, hau esan nahi du beharrezkoa funtzioa gehienez baldintzak direla zero bere eratorriak balioa da.

ekonomia ez da zenbait aldagai funtzio baten extremum the aurkitzeko arazoa arraroa, adierazle ekonomiko dira faktore asko osatuta dagoelako. Horrelako arazo ongi zenbait aldagai, diferentziala kalkulatzeko metodoa funtzioak teorian ulertzen dira. Horrelako arazoak ez dira, besteak beste bakarra maximizatua eta minimizatu funtzioa, baina baita mugak. Galdera hauek programazio matematiko erlazionatzeko, eta dute metodo bereziki garatutako laguntzaz ere oinarritzen dira zientziaren adar honetako konpondu dira.

ekonomia erabilitako kalkulu diferentziala metodo artean, atal garrantzitsu bat azken proba da. esparru ekonomikoa, epe performance aldakorreko ikerketa metodo multzo bat aipatzen eta noiz sortu, kontsumo-bolumena aldatzen baduzu, beren muga-balioak azterketa batean emaitzak. zantzurik jotzen eratorri edo zenbait aldagai eratorriak partziala mugatzea.

zenbait aldagai kalkulu diferentziala - analisi matematiko gaia garrantzitsu bat. azterketa zehatza egiteko, irakasteko baliabideak ezberdinak erabili ahal izango duzu goi-mailako hezkuntza-erakundeen da. sortu ospetsuena Fikhtengol'ts bat - "diferentziala eta kalkulu integralaren". Nola izena du askoz garrantzi handia Ekuazio diferentziala konponbidea bilatzeko gaitasunak integralak lan egin behar da. Noiz ez da aldagai baten funtzioen kalkulu diferentziala da, erabakia errazagoa bihurtzen da. adierazi behar da, arren behar, oinarrizko arau berberak jarraitzen du. Praktikan, diferentziala kalkulu funtzioa ikertzeko, jarraitu lehendik algoritmoa, hau da batxilergoko eman, eta bakarrik pixka bat konplikatua aldagai berriaren sarrera.