Maclaurin eta funtzio batzuk deskonposizio

matematika aurreratu ikasita jakitun power digu kopuru bat konbergentzia tarte batean serie baten batura hori, zenbat aldiz etengabea eta mugagabea a funtzioa bereizi bat da izan behar. galdera sortzen da: posible da jakin arbitrarioa funtzioa f batekin argudiatzeko (x) - power serie baten batura den? Hau da, zer baldintza f-tza f (x) power serie bat irudikatu dezaketen azpian? gai honen garrantzia da posible dela ordezkatzeko gutxi gorabehera £ Theological f (x) power serie baten lehen terminoak gutxi batura da, hau polinomio bat da. polinomio - - Horrelako ordezko funtzioa nahiko sinplea adierazpen da eroso eta zenbait arazo konpontzeko da analisi matematiko batean, hots integralak konpontzen denean kalkulatzeko ekuazio diferentzial , eta abar ...

It frogatu da, hau f-ii f batzuk (x), dua (n + 1) ordena garrenaren deribatuak kalkulatu ahal izango dira, inguruetan azken barne (α for - R; x ₀ + R) puntua x = α baten bidezko formula hau da:

formula honek zientzialari ospetsua Brooke Taylor omenez. kopuru bat hau da, aurreko bat eratorritako, deritzo Maclaurin serie bat:

Arau hori posible Maclaurin multzo batean hedapen ekoizteko:

1. Zehaztu lehen, bigarren, hirugarren, ... ordenaren eratorriak.
2. Kalkulatu, x = 0 eratorriak dira bertan.
3. Grabatu Maclaurin serie funtzio hori, eta, ondoren konbergentzia tartea zehazteko.
4. Zehaztu tartea (-R: R), non hondar formula Maclaurin zatia

R _n (x) -> 0 n -> infinitua. Bat existitzen bada, f (x) Maclaurin seriearen batura berdina izan behar du.

Demagun orain Maclaurin banakako funtzio serieak.

1. Horrela, lehenengo f (x) = e ^x. Jakina, euren ezaugarriak, beraz, f-Ia aginduak barietate, eta f ^{(k) (x)} = e ^x, non k guztien berdina da eratortzen ditu zenbaki natural. Ordezko x = 0. f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 lortu dugu ... oinarritua Aurrekoaren, e ^x zenbaki baten gainean honela izango da:

2. Maclaurin funtzioa f (x) = sin x serieak. Berehala zehaztutako eratorriak ezezagun guztientzat f-tza izango du, f gain ^'(x) = cos x = sin (x + n / 2), ^{f' '(x)} = -sin x = sin (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = sin (x + n * k / 2), non k edozein zenbaki oso berdina da. Hau da, kalkulu errazak egiteko, ondoriozta dezakegu f serie (x) = sin x hau izango da:

3. Orain kontuan hartu dezagun iju f-f (x) = cos x. Ordena arbitrarioen eratorriak guztientzat ezezaguna da, eta ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2, ... Berriz ere, kalkulu batzuk egin izana da, aurkituko ditugu f serie (x) = cos x itxura hau izango dela:

Beraz, zerrendatu ditugu ezaugarri garrantzitsuena dela Maclaurin serie bat zabaldu daiteke, baina Taylor zenbait funtzio serie osagarri dira. Orain, horiek zerrenda bat egingo dugu, baita. Halaber, adierazi behar da Taylor serieak eta Maclaurin serieak tailerra erabakiak serie matematika handiagoa zati garrantzitsu bat dira. Beraz, Taylor serieak.

1. Lehenengoa f-ii f (x) = ln (1 + x) serie bat da. aurreko adibide dugu, f honetan (x) = ln (1 + x) tolestuta daiteke zenbaki bat, Maclaurin serie forma orokorra erabiltzeagatik bezala. baina ezaugarri hori egiteko Maclaurin lor daiteke, askoz errazagoa da. serie geometriko bat integratzea, f (x) zenbaki bat lortuko dugu = ln (1 + x) lagina:

2. Eta bigarrena, zein behin betikoa izango da artikulu honetan, f (x) = arctg x serie bat izango da. tartea dagokion x For [-1, 1] baliozko deskonposizio da:

Hori da dena. Artikulu honetan inkesta egin ditut gehien erabiltzen Taylor serieak eta Maclaurin series matematika goi ere, batez ere, institutu ekonomikoa eta teknikoa ere.