Ekuazio algebraiko linealen sistema bat. Homogeneoak ekuazio algebraiko linealen sistema

Eskolan, gutako bakoitzak ekuazioa Ekuazioen sistema aztertu eta, zalantzarik gabe. Baina ez da jende asko ezagutzen ez diren hainbat modu horiek konpontzeko. Gaur zehazki guztiak metodoak ikusiko dugu lineala aljebraiko ekuazioak dira, bi baino gehiago ekuazioak osatuta sistema bat ebazteko.

istorioa

Gaur badakigu ekuazioak eta beren sistemak konpontzen artea antzinako Babilonia eta Egiptoko jatorria. Hala ere, beren forma ezagunak berdintasuna guri agertu Berdintasun ikurraren "=", eta hori 1556an sartu zen matematikari ingelesa erregistro agerraldia ondoren. Bide batez, ikur horren arrazoi bat aukeratu zen: bi paralelo berdinak segmentu esan nahi du. Izan ere, berdintasun adibide onena ez da etorri bere.

errotulazioa modernoaren sortzaile eta neurri ezezaguneko ikurrak, Frantziako matematikaria Fransua Vietnam. Hala ere, bere izendapen gaur desberdina da. Adibidez, zenbaki ezezagun baten karratua izendatutako letra Q (lat "Quadratus".), eta kubo moduan zuen - (. lat "cubus") letra C. Ikur horiek orain badirudi deseroso, baina gero intuitiboena Ekuazio algebraiko linealen sistema bat idazteko modurik izan zen.

Hala ere, indarrean dagoen irtenbide metodoak ere desabantaila bat izan zen matematikari hori bakarrik sustraiak positiboa jotzen dute. Agian, hau da, izan ere, balore negatiboak ez dute inolako aplikazio praktikoa dela eta. Modu batean edo bestean, baina lehen kontuan hartu behar da sustraiak negatiboa Italiako matematika Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano eta Raphael Bombelli 16an mendean ondoren hasi zen. look moderno bat, konpontzeko metodo nagusiak quadratic ekuazioak (Diskriminatzailea bidez) ezarri zen 17. mendean bakarrik Descartes eta Newton lanen bidez.

18an mendeko matematikari suitzarrak erdian Gabriel Cramer Ekuazio lineal errazagoa sistemak konponbidea egiteko modu berri bat aurkitu. Metodo hau geroago bere izena, eta egun honetan erabiltzen dugu. Baina Kramer-ren eztabaida metodoa apur bat geroago, baina oraingoz Ekuazio lineal eta beren soluzioak hitz egingo dugu bereizita sistematik.

ekuazio lineal

Ekuazio lineala - aldagai (ar) ekin ekuazio errazena. dagozkio aljebraiko nahi dute. Ekuazio lineala forma oro har, honela idatzita: a ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... eta _n * x _n = b. Formulario hau aurkezteko sistemak prestatzeko egingo dugu behar eta matrizeak orrian.

Ekuazio algebraiko linealen sistema bat

Epe honen definizioa hau da: hori Ezezagunak arrunt eta irtenbide orokorrak izan ekuazioak multzo bat. Normalean, eskolan guztiek sistema bat konpondu bi edo are hiru ekuazioak batera. Baina badira lau edo gehiago osagai duten sistemetan. Ea lehen nola idatzi behera beraz, geroago erosoa konpondu zen dezagun. Alde batetik, ekuazio algebraiko linealen sistema hobea itxura izango aldagai guztiak dira dagokion indize x gisa idatzia bada: 1,2,3 eta abar. Bigarrenik, kanonikoak formaren ekuazio guztietan eramango luke: a ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... eta _n * x _n = b.

Urrats horiek finean, esango nola Ekuazio linealetako sistemak irtenbidea aurkitzeko Orduan hasiko dugu. Oso horretarako askoz izango matrize erabilgarri etorriko.

matrize

Matrix - taula bat da, lerro eta zutabe ditu, eta bere elementu euren elkargunean daude. Hori bai balioa edo aldagai zehatz bat izan daiteke. Kasu gehienetan, hori azpiindizeak (adibidez, ₁₁ edo ₂₃ ongi a) azpian antolatu dira elementu izendatzeko. zutabea - lehen Indizea lerro kopurua, eta bigarrena adierazten du. matrize Above gainetik eta beste edozein elementu matematiko gisa hainbat eragiketa egin ditzake. Horrela, ahal duzu:

1) Kendu eta mahaiaren tamaina bera gehitzeko.

2) Biderkatu edozein zenbaki edo bektore den matrizea.

3) irauli: matrizearen lerroak eraldatzeko zutabeak, eta zutabeen - lerroan.

4) Biderkatu matrizea, lerroen kopurua zutabeak kopuru desberdinak horietako bat berdina bada.

To xehetasunez eztabaidatu teknika horiek guztiak, gurekin erabilgarria etorkizunean baitira. Kenketa eta matrizeen gain, oso erraza da. tamaina bereko matrizea hartuko dugu aurrera, mahai baten elementu elkarri elementu guztietan lotuta dago. Horrela gehitzen badiogu (kenketak) elementu horiek bi (garrantzitsua da lur berean dutela zutik ziren euren matrize batean). Matrize edo bektore-kopurua biderkatu Noiz biderkatu besterik ez duzu matrizearen elementu bakoitzari zenbaki hori (edo Bektore) arabera. Transposizioa - prozesua oso interesgarria. Oso interesgarria batzuetan hura ikusteko bizitza errealean, adibidez, tablet edo telefono orientazioa aldatzen. Mahaigainean ikonoak matrize bat da, eta posizio aldaketa batekin, transposed da eta bilakatzen zabalagoa, baina altuera gutxitzen.

Demagun gehiago prozesu bat aztertu digu, hala nola matrize biderkatzeko. Esan zigun arren zuen, eta ez da erabilgarria, baina kontuan izan, oraindik baliagarria da izango. Biderkatu bi matrize mahai batean zutabe kopurua duten beste lerroen kopurua berdina da bakarrik baldintza pean izan daiteke. Orain hartu matrizearen lerro bat elementu eta bestelako dagokion zutabean elementuak. Biderkatu haiek beste, eta gero batuketa bakoitzean (: a * b _{11 12} + ₁₂ * b eta ₂₂ adibidez, adibidez, elementu ₁₁ eta ₁₂ eta ₁₂ b eta ₂₂ b at produktu bat berdina izango _da). Horrela, mahai-elementu bakarra, eta hura antzeko metodo bat gehiago betetzen da.

Orain nola ekuazio linealetako sistemak ebazteko kontuan hartu hasiko dugu.

Gauss

Gai hau hasi ospatuko eskolan. Oso ondo ezagutzen dugu "sistema bi ekuazio lineal" kontzeptua eta badakite nola konpondu nahi. Baina zer ekuazio-kopurua bi baino handiagoa bada? Hau lagunduko digute Gauss metodoa.

Jakina, metodo hau erosoa da erabiltzeko, sistemaren matrize bat egin baduzu. Baina ezin duzu bihurtu da eta bere kabuz erabakitzeko.

Beraz, nola konpondu Ekuazio lineala Gauss-sistema baten bidez? Bide batez, nahiz eta metodo hau bere omenez izendatu, baina aurkitu da antzinatik nahiz eta. Gauss operazio bat egindako ekuazioak batera ditu, azkenean echelon inprimaki Osotasun batean. Hau da, waned bat ezezaguna den goitik beherako (baldin behar bezala jarri) lehenengo azken ekuazio behar duzu. Bestela esanda, ziurtatu dugu dugu lortu behar dugu, esan, hiru ekuazioak: lehen - Hiru Ezezagunak, bigarrenean - bi hirugarrenean - bat. Ondoren, azken ekuazio batetik, lehenengo ezezaguna aurkituko dugu, ordezka bere balioa bigarren edo lehenengo ekuazioan, eta urrunago geratzen diren bi aldagai aurkitu.

Cramer-en araua

Teknika honen garapenean funtsezkoa da gain trebetasunak menderatzea, matrizeen kenketa, baita beharra duela determinatzaileak aurkitzea izango da. Beraz, ez zara deseroso guztiak hori egiten bada edo ez dakit nola, beharrezkoa da ikasteko eta trebatu.

Zein da metodo honen funtsa, eta nola egin ere, ekuazio lineal Cramer-sistema bat lortzeko? Oso erraza da. zenbakien matrizea bat eraikitzeko (ia beti) Ekuazio algebraiko linealen sistema baten koefiziente behar dugu. Horretarako, besterik gabe, hartu ezezagunaren kopurua, eta mahai bat antolatu dugu ordena dutela sisteman grabatutako zara. Bada kopurua seinale da aurretik "-", orduan koefizientea negatiboa idatzi dugu. Beraz, Ezezagunak koefiziente lehen matrizea egin dugu, ez Berdintasun ikurraren ostean kopurua barne (jakina, ekuazio hori du kanonikoa inprimaki murriztu eskuinetik, zenbaki bat besterik ez da, eta ezkerreko da - koefiziente batekin Ezezagunak guztiak). Ondoren gutxi matrize bat egin behar duzu - aldagai bakoitzeko bat. Horretarako, lehen matrizea da koefiziente zutabe zenbakiak bakoitza ordezkatu zutabean banan Berdintasun ikurraren ostean. Horrela gutxi matrize bat lortuko dugu eta, ondoren, bere determinanteak aurkitu.

sailkatze aurkitu dugu ondoren, txiki bat da. Hasierako matrize bat daukagu, eta badira hainbat eratorritako matrizeak, aldagai desberdinak dagozkie. sistema irtenbide bat lortzeko, ondorioz, mahai determinantea zatitzen dugu lehen mahai determinantea gainean. Lortutako kopurua aldakorra baten balioa da. Era berean, Ezezagunak guztiak aurkitu dugu.

beste metodo

Ordena Ekuazio linealetako sistemak konponbidea lortzeko hainbat metodo daude. Adibidez, llamado Gauss-Jordan metodoa bat, hau da ekuazio koadratikoen sistemaren irtenbideak bilatzeko erabiltzen da, eta, gainera, matrizeen erabilera erlazionatzen. Halaber, bada Jacobi Ekuazio algebraiko linealen sistema bat ebazteko metodo bat. Erraz ordenagailu guztietan egokitzen zituen eta informatika erabiltzen da.

kasu korapilatsu

Konplexutasuna normalean gertatzen ekuazioen kopurua aldagai kopurua baino txikiagoa bada. Ondoren zalantzarik gabe esaten dugu hori, edo sistema datoz bat (hau da, ez du sustraiak gabe), edo bere erabakiak kopuruaren infinitua joera. Bigarren kasuan badugu - beharrezkoa da ekuazio linealetako sistemaren soluzio orokorra idazteko. aldagai bat gutxienez bilduko du.

ondorio

Hemen datoz amaierara dugu. Laburbilduz: zer sistema matrize, ikasi Ekuazio lineal sistema baten soluzioa aurkitzeko ulertu behar dugu. Horrez gain beste aukera jotzen dugu. hurrena dugu nola ekuazio linealetako sistemak ebazteko: Gauss ezabatzea eta Cramer-en araua. kasu zail eta bestelako irtenbideak bilatzeko moduak buruz hitz egin dugu.

Izan ere, gai honen askoz zabalagoa da, eta hobeto ulertu nahi baduzu, literatura espezializatua gehiago irakurri gomendatzen dizugu.